已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an+1－2an(n∈N*)，

(1)求證：數(shù)列{an+1－an}是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}的通項公式；

(3)若數(shù)列{bn}滿足…＝(n∈N*)，證明{bn}是等差數(shù)列．

答案：
解析：

　　(1)證明：∵an+2＝3an+1－2an，

　　∴an+2－an+1＝2(an+1－an)．

　　∵a1＝1，a2＝3，

　　∴＝2(n∈N*)．

　　∴{an+1－an}是以a2－a1＝2為首項，2為公比的等比數(shù)列．

　　(2)解：由(1)得an+1－an＝2n(n∈N*)，

　　∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

　�。�2n－1＋2n－2＋…＋2＋1

　�。�2n－1(n∈N*)．

　　(3)證明：∵…＝，

　　∴＝．

　　∴2[(b1＋b2＋…＋bn)－n]＝nbn，①

　　2[(b1＋b2＋…＋bn＋bn+1)－(n＋1)]＝(n＋1)bn+1．②

　�、冢伲�2(bn+1－1)＝(n＋1)bn+1－nbn，

　　即(n－1)bn+1－nbn＋2＝0．③

nbn＋2－(n＋1)bn+1＋2＝0．④

　�、埽�，得nbn+2－2nbn+1＋nbn＝0，即bn+2－2bn+1＋bn＝0，

　　∴bn+2－bn+1＝bn+1－bn(n∈N*)．

　　∴{bn}是等差數(shù)列．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1
．

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