Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB=AB=AD=3，BC=1．
（Ⅰ）若點F為PD上一點且PF=$\frac{1}{3}$PD，證明：CF∥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角B-PD-A的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）過點F作FH∥AD，交PA于H，連接BH，證明HF∥BC，CF∥BH，然后證明CF∥平面PAD．
（Ⅱ）說明BC⊥AB．PB⊥AB，PB⊥BC，以B為原點，BC，BA，BP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出平面BPD的一個法向量，平面APD的一個法向量，通過向量的數(shù)量積求解二面角B-PD-A的大�。�

解答 證明：（Ⅰ）過點F作FH∥AD，交PA于H，連接BH，
因為PF=$\frac{1}{3}$PD，所以HF=$\frac{1}{3}$AD=BC．…．（1分）
又FH∥AD，AD∥BC，所以HF∥BC．…．（2分）
所以BCFH為平行四邊形，所以CF∥BH．…．（3分）
又BH?平面PAB，CF?平面PAB，…．（4分）（一個都沒寫的，則這（1分）不給）
所以CF∥平面PAB．…．（5分）
解：（Ⅱ）因為梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，所以BC⊥AB．
因為PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AB，PB⊥BC，
如圖，以B為原點，BC，BA，BP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，…．（6分）
所以C（1，0，0），D（3，3，0），A（0，3，0），P（0，0，3）．
設平面BPD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），平面APD的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
因為$\overrightarrow{PD}$=（3，3，-3），$\overrightarrow{BP}$=（0，0，3）
所以$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=3x+3y-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=3z=0}\end{array}\right.$，…．（7分）
取x=1得到$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），…．（8分）
同理可得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），…．（9分）
所以cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{1}{2}$，…．（10分）
因為二面角B-PD-A為銳角，
所以二面角B-PD-A為$\frac{π}{3}$．…．（12分）

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，二面角的平面角的求法，向量的數(shù)量積的應用，考查空間想象能力以及計算能力．