Question

已知函數(shù)f（x）=log₂

x+1

x-1

，g（x）=log₂（x-1）
（1）判斷f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）記函數(shù)h（x）=g（2^x+2）+kx，問：是否存在實數(shù)k使得函數(shù)h（x）為偶函數(shù)？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)遞減．利用單調(diào)性的定義，關(guān)鍵是作差變形；
（2）假設(shè)存在這樣的k使得函數(shù)h（x）為偶函數(shù)，則h（x）-h（-x）=0恒成立，化簡可得結(jié)論；

解答： 解：（1）f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)遞減．證明如下：
任取1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=log₂

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

∵

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

-1=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2+1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴

2(x2-x1)

(x1-1)(x2+1)

＞0，
∴

2(x2-x1)

(x1-1)(x21)

＞1
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)遞減；
（2）h（x）=g（2^x+2）+kx=log₂（2^x+1）+kx，定義域為R，
假設(shè)存在這樣的k使得函數(shù)h（x）為偶函數(shù)，則h（x）-h（-x）=0恒成立，
即log₂（2^x+1）+kx-log₂（2^-x+1）+kx=0，化簡得（1+2k）x=0，
∴k=-

1

2

使得函數(shù)h（x）為偶函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，熟練掌握函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．