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16.(文)已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+3sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期為π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,\frac{2π}{3}]上的取值范圍.

分析 (Ⅰ)利用二倍角三角函數(shù)公式和輔助角公式化簡,得到f(x)=sin(2ωx-\frac{π}{6})+\frac{1}{2}.再由三角函數(shù)的周期公式求出ω;
(Ⅱ)由(Ⅰ)中的正弦函數(shù)的圖象的性質(zhì)來求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,\frac{2π}{3}]上的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)f(x)=sin2ωx+\sqrt{3}sinωxcosωx(ω>0)
=\frac{1-2cos2ωx}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx
=\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx+\frac{1}{2}
=sin(2ωx-\frac{π}{6})+\frac{1}{2}
因為函數(shù)f(x)的最小正周期為π,且ω>0,
所以\frac{2π}{ω}=π,
解得ω=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=sin(2x-\frac{π}{6})+\frac{1}{2}
因為x∈[0,\frac{2π}{3}],
所以2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6},\frac{7π}{6}],
所以-\frac{1}{2}≤sin(2x-\frac{π}{6})≤1.
所以0≤sin(2x-\frac{π}{6})+\frac{1}{2}\frac{3}{2}

點評 本題給出三角函數(shù)表達式,求函數(shù)的周期與單調(diào)區(qū)間,并求閉區(qū)間上的最值.著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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A.960B.-160C.-560D.-960

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同步練習(xí)冊答案
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