Question

19．設M是△ABC內一點，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，定義f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分別是△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（1，n，p），則$\frac{1}{n}$+$\frac{4}{p}$的最小值為6．

Answer 1

分析 由向量的數(shù)量積公式，求出|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=8，由題意得，n+p=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，然后通過基本不等式求出最小值，即可得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos∠BAC=4$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=8
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|sincos∠BAC=2，
由題意得n+p=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{n}$+$\frac{4}{p}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$+$\frac{4}{p}$）（n+p）=$\frac{2}{3}$（1+4+$\frac{p}{n}$+$\frac{4n}{p}$）≥$\frac{2}{3}$（5+2$\sqrt{\frac{p}{n}•\frac{4n}{p}}$）=6，當且僅當n=$\frac{1}{2}$，p=1時取等號，
∴最小值為6．
故答案為：6．

點評 本題考查基本不等式的應用和余弦定理，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用．