Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y²=8x的焦點為F，橢圓Σ的中心在坐標原點，離心率e=

1

2

，且F是橢圓Σ的一個焦點．
（1）求橢圓Σ的標準方程；
（2）過F作垂直于x軸的直線，與橢圓Σ相交于A、B兩點，試探究在橢圓Σ上是否存在點P，使△PAB為直角三角形．若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的標準方程即可得出焦點F，再利用橢圓的離心率計算公式及其b²=a²-c²即可；
（2）由（1）得：x=2時，y=±3，不妨設A（2，3）、B（2，-3），分類討論：
①若∠PAB=

π

2

；②若∠PBA=

π

2

，③若∠APB=

π

2

，分別解出即可．

解答：解：（1）依題意，設橢圓Σ的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵2p=8，∴p=4，

p

2

=2，F(xiàn)（2，0），c=2．
∴e=

c

a

=

1

2

，∴a=4，b²=a²-c²=12，
所以橢圓Σ的標準方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）由（1）得：x=2時，y=±3，不妨設A（2，3）、B（2，-3），
①若∠PAB=

π

2

，則直線PA：y=3，解方程組

x2 16 + y2 12 =1 y=3

可得P₁（-2，3），
②若∠PBA=

π

2

，同理可得P₂（-2，-3）），
③若∠APB=

π

2

，設P（x，y）（x≠2且|x|≤4），
∵AB垂直于x軸，∴PA、PB與坐標軸不平行，
∵k_PA•k_PB=-1，∴（x-2）²+y²=9，
又

x2

16

+

y2

12

=1，消去變量y得x²-16x+28=0），解得x=2或x=14，
∵x≠2且|x|≤4，∴x=2或x=14均不滿足要求，即橢圓Σ上不存在點P，使∠APB=

π

2

．
綜上所述，點P的坐標為P₁（-2，3），P₂（-2，-3）．

點評：熟練掌握拋物線和橢圓的標準方程及其性質(zhì)、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．