Question

9．等比數(shù)列{a_n}的公比為q，前n項(xiàng)和為S_n，已知S₁₀=20，S₁₅=30，則$\frac{1-q}{{a}_{1}}$S_n的最大值為$1+\frac{\root{5}{16}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可知，q=1時(shí)，$\frac{1-q}{{a}_{1}}$S_n =0；當(dāng)q≠1時(shí)，由已知列式求得q，代入$\frac{1-q}{{a}_{1}}$S_n，則其最大值可求．

解答 解：在等比數(shù)列{a_n}中，由S₁₀=20，S₁₅=30，
若q=1，則a₁=2，
∴$\frac{1-q}{{a}_{1}}$S_n =0；
若q≠1，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{10}）}{1-q}=20}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{15}）}{1-q}=30}\end{array}\right.$，兩式作比得：$\frac{1-{q}^{15}}{1-{q}^{10}}=\frac{3}{2}$，
即2q¹⁵-3q²+1=0，解得：${q}^{5}=-\frac{1}{2}$，q=$-\root{5}{\frac{1}{2}}$．
∴$\frac{1-q}{{a}_{1}}$S_n =$\frac{1-q}{{a}_{1}}•\frac{{a}_{1}}{1-q}（1-{q}^{n}）=1-{q}^{n}$=$1-（-\root{5}{\frac{1}{2}}）^{n}$．
∴當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1-q}{{a}_{1}}$S_n的最大值為$1+\frac{\root{5}{16}}{2}$．
故答案為：$1+\frac{\root{5}{16}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．