Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB=2，AD=2，PA=

3

，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點．
（1）求異面直線PD與BE所成角的正弦值；
（2）求證：PA⊥底面ABCD；
（3）求直線PC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）通過證明四邊形ABED是平行四邊形得到BE∥AD，從而得到∠PDA為異面直線PD與BE所成角，然后通過解直角三角形得答案；
（2）直角利用面面垂直的性質(zhì)得答案；
（3）以A為坐標原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求解直線PC與平面PAB所成角的正弦值．

解答： （1）解：∵AB∥CD，
又CD=2AB=2，且E是CD的中點，
∴AB=CD，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
則BE∥AD，
∴∠PDA為異面直線PD與BE所成角．
∵PA⊥AD，
∴△PAD為Rt△．
又AD=2，PA=

3

，
∴PD=

AD2+PA2

=

7

．
∴sin∠PDA=

PA

PD

=

3

7

=

21

7

．
即異面直線PD與BE所成角的正弦值為

21

7

；
（2）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD
∴PA⊥平面ABCD（平面與平面垂直的性質(zhì)定理）；
（3）解：由（2）結(jié)合已知可知：AB，AD，AP兩兩互相垂直，
以A為坐標原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，

3

），C（2，2，0）．
平面PAB的一個法向量為

AD

=(0，2，0)，

PC

=(2，2，-

3

)．
∴直線PC與平面PAB所成角的正弦值sinθ=|cos＜

AD

，

PC

＞|=|

AD • PC

| AD |•| PC |

|=

4

2 22+22+(- 3 )2

=

2 11

11

．

點評：本題考查了異面直線所成的角，考查了直線與平面垂直的判斷，訓(xùn)練了利用空間向量求線面角，是中檔題．