Question

已知函數(shù)是奇函數(shù)，的定義域?yàn)?sub>．當(dāng)時(shí)，．這里，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)如果當(dāng)x≥1時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)試判斷 與的大小關(guān)系，這里,并加以證明．

Answer 1

解：x>0時(shí)，         ………2分

（1）當(dāng)x>0時(shí)，有

；

所以在（0，1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得唯一的極值．由題意，且，解得

所求實(shí)數(shù)的取值范圍為      ………………………5分

（2）當(dāng)時(shí)，

  令，由題意，在上恒成立

 

   令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

   所以在上單調(diào)遞增，．

   因此，    在上單調(diào)遞增，．

   所以．所求實(shí)數(shù)的取值范圍為     …………………9分

（3）(方法一)由（2），當(dāng)時(shí)，即，即．

    從而．

令，得

  

，

     ……

  

   將以上不等式兩端分別相加，得

       ………………………14分

（方法二）時(shí)，<

猜想對(duì)一切成立。

欲證對(duì)一切成立，

只需證明

而，

而>0,   0

所以 >,

所以成立,所以猜想正確.