Question

下列命題中正確的是（　　）
①存在實(shí)數(shù)α，使等式sinα+cosα=

3

2

成立；
②函數(shù)f（x）=tanx有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；
③函數(shù)y=sin(

3

2

π+x)是偶函數(shù)；
④方程tanx=

1

3

的解集是{x|x=2kπ+arctan

1

3

，k∈Z}；
⑤把函數(shù)f（x）=2sin2x的圖象沿x軸方向向左平移

π

6

個(gè)單位后，得到的函數(shù)解析式可以表示成f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
⑥在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象只有1個(gè)公共點(diǎn)．

A．②③④

B．③⑤⑥

C．①③⑤

D．②③⑥

Answer 1

分析：將sinα+cosα=

3

2

兩邊平方后整理得sin2a=

5

4

，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可判斷①；根據(jù)正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)誘導(dǎo)公式及余弦函數(shù)的單調(diào)性，可判斷③；根據(jù)正切函數(shù)的周期性，可判斷④；根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，求出平移后函數(shù)的解析式，可判斷⑤；利用導(dǎo)數(shù)法，分析兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可判斷⑥

解答：解：將sinα+cosα=

3

2

兩邊平方后整理得：2sinacosa=

5

4

，即sin2a=

5

4

，這與正弦函數(shù)的值域?yàn)閇-1，1]相矛盾，故①錯(cuò)誤；
當(dāng)x=kπ，k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）=tanx=0，故②正確；
函數(shù)y=sin(

3

2

π+x)=-cosx為偶函數(shù)，故③正確；
方程tanx=

1

3

的解集是{x|x=kπ+arctan

1

3

，k∈Z}，故④錯(cuò)誤；
把函數(shù)f（x）=2sin2x的圖象沿x軸方向向左平移

π

6

個(gè)單位后，得到的函數(shù)應(yīng)該是f（x）=2sin（2x+

π

3

），故⑤錯(cuò)誤；．
令g（x）=sinx-x，g′（x）=cosx-1≤0，所以g（x）為減函數(shù)，且g（0）=0，所以g（x）=0僅有一個(gè)根0，所以y=sinx與y=x僅有一個(gè)交點(diǎn)．故⑥正確
即正確的命題為②③⑥
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)，余弦函數(shù)及正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．