已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn) 在直線(xiàn)上。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）求以OM為直徑且被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；

（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線(xiàn)與以OM為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線(xiàn)段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值。

【解析】（1）又由點(diǎn)M在準(zhǔn)線(xiàn)上，得            

故，    從而                所以橢圓方程為                                   

（2）以O(shè)M為直徑的圓的方程為即                                

其圓心為,半徑                              

因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為2

所以圓心到直線(xiàn)的距離       所以，解得所求圓的方程為                       

 （3）方法一：由平幾知：

直線(xiàn)OM：，直線(xiàn)FN：        由得

所以線(xiàn)段ON的長(zhǎng)為定值。

方法二、設(shè)，則 

              

 又

所以，為定值   

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=（3，-1）共線(xiàn)．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且
OM
=λ
OA
+μ
OB
(λ，μ∈R)，證明λ2+μ2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線(xiàn)x=
a2c
（a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線(xiàn)3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；
（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線(xiàn)與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線(xiàn)段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F（2，0）的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線(xiàn)，則該橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為
6
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線(xiàn)x=
a2c
（a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線(xiàn)3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線(xiàn)，則該橢圓的離心率為（　�。�
A、
5
3
B、
3
2
C、
6
3
D、
2
2
3

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同步練習(xí)冊(cè)答案