Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-（a+1）x+1．
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若a∈[-1，1]，求不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，得到方程即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若a∈[-1，1]，轉(zhuǎn)化不等式f（x）＜0為g（a）＜0，推出不等式求解即可得到x的解集．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=ax²-（a+1）x+1．是偶函數(shù)，
∴a+1=0，解得a=-1．
（2）∵ax²-（a+1）x+1=a（x²-x）+（1-x），
令g（a）=a（x²-x）+（1-x），當(dāng)x²-x=0時(shí)，x=0或x=1，不等式f（x）＜0無解．
則g（a）是關(guān)于a的一次函數(shù)，
g（a）為[-1，1]上g（a）＜0，
可得：

-(x2-x)+1-x＜0 (x2-x)+1-x＜0

，
解得x∈∅，
綜上，x的取值范圍是∅．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次不等式的解法，以及不等式恒成立問題，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．