等差數(shù)列{an}的公差d不為0，Sn是其前n項和，給出下列命題：
①若d＜0，且S3=S8，則S5和S6都是{Sn}中的最大項；
②給定n，對于一切k∈N*（k＜n），都有an-k+an+k=2an；
③若d＞0，則{Sn}中一定有最小的項；
④存在k∈N*，使ak-ak+1和ak-ak-1同號．
其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】分析：根據(jù)等差數(shù)列的求和公式sn=na1+d=n2+（a1-）n，因為d小于0得到sn是開口向下的拋物線，根據(jù)S3=S8得到拋物線的對稱軸即可得到最大項，得到①正確；同理d大于0時，得到函數(shù)的最小項，③正確；根據(jù)等差中項的性質(zhì)得到②正確；根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到ak-ak+1和ak-ak-1異號即④錯．
解答：解：因為{an}成等差數(shù)列，所以其前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)的形式且缺少常數(shù)項，d＜0說明二次函數(shù)開口向下，又S3=S8，說明函數(shù)關(guān)于直線x=5.5對稱，所以S5、S6都是最大項，①正確；
同理，若d＞0，說明函數(shù)是遞增的，故{Sn}中一定存在最小的項，③正確；
而②是等差中項的推廣，正確；
對于④，ak-ak+1=-d，ak-ak-1=d，因為d≠0，所以二者異號．
所以正確命題的個數(shù)為3個．
故選B
點評：考查學生靈活運用等差數(shù)列的前n項和的公式，掌握等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果一個數(shù)列的各項都是實數(shù)，且從第二項開始，每一項與它前一項的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫這個數(shù)列的公方差．
（1）設(shè)數(shù)列{an}是公方差為p的等方差數(shù)列，求an和an-1（n≥2，n∈N）的關(guān)系式；
（2）若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明該數(shù)列為常數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列{an}是首項為2，公方差為2的等方差數(shù)列，若將a1，a2，a3，…，a10這種順序的排列作為某種密碼，求這種密碼的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

按照等差數(shù)列的定義我們可以定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么a8的值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）如果一個數(shù)列的各項都是實數(shù)，且從第二項起，每一項與它的前一項的平方差是同一個常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫這個數(shù)列的公方差．
（Ⅰ）若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，求證：該數(shù)列是常數(shù)列；
（Ⅱ）已知數(shù)列{an}是首項為2，公方差為2的等方差數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且滿足an2=2n+1bn．若不等式2n•Sn＞m•2n-2an2對?n∈N*恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果一個數(shù)列的各項均為實數(shù)，且從第二項起開始，每一項的平方與它前一項的平方的差都是同一個常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公方差．
（1）若數(shù)列{bn}是等方差數(shù)列，b1=1，b2=3，求b7；
（2）是否存在一個非常數(shù)數(shù)列的等差數(shù)列或等比數(shù)列，同時也是等方差數(shù)列？若存在，求出這個數(shù)列；若不存在，說明理由．
（3）若正項數(shù)列{an}是首項為2、公方差為4的等方差數(shù)列，數(shù)列{
1
an
}的前n項和為Tn，是否存在正整數(shù)p，q，使不等式Tn＞
pn+q
-1對一切n∈N*都成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若各項都是實數(shù)的數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的平方差是同一常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫這個數(shù)列的公方差．
（Ⅰ）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，前n項和為Tn，并且an2=T2n-1，求通項an；
（Ⅱ）若數(shù)列{an}是首項為2，公方差為2的等方差數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且an2=2n+1bn．2n•Sn＞m•2n-2an2對?n∈N*恒成立，求m的取值范圍．

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