【題目】已知函數(shù).

(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)設(shè)，求在上的最大值；

(3)試證明：對(duì)任意的，不等式成立.

【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）（3）見解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，分類討論即可；（3）根據(jù)（1）知當(dāng)時(shí)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值即可證明.

（1）函數(shù)的定義域是.由已知.

令,得.

因?yàn)楫?dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

（2）由1問可知當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,

所以.

當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,所以.

當(dāng),即時(shí),.

綜上所述,

（3）由（1）問知當(dāng)時(shí).

所以在時(shí)恒有,

即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

因此對(duì)任意恒有.

因?yàn)?/span>,,所以,即.

因此對(duì)任意,不等式.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知曲線C:x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0,其中k≠－1.

(1)求證:曲線C都表示圓,并且這些圓心都在同一條直線上;

(2)證明:曲線C過定點(diǎn);

(3)若曲線C與x軸相切,求k的值.

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【題目】已知Sn是正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，滿足a1＝2，anan+1＝6Sn﹣2，n∈N*．

（1）求證：{an}是等差數(shù)列；

（2）記bn＝2n，求數(shù)列{|an﹣bn|}的前n項(xiàng)和Tn．

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【題目】（1）用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長(zhǎng)度是多少？

（2）用一段長(zhǎng)為的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？

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【題目】已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，f(1)＝－.

(1)求證：f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)．

(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．

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【題目】已知學(xué)校有15位數(shù)學(xué)老師，其中9位男老師，6位女老師，學(xué)校有10位數(shù)學(xué)老師，其中3位男老師，7位女老師，為了實(shí)現(xiàn)師資均衡，現(xiàn)從學(xué)校任意抽取一位數(shù)學(xué)老師到學(xué)校，然后從學(xué)校隨機(jī)抽取一位數(shù)學(xué)老師到市里上公開課，則在學(xué)校抽到學(xué)校的老師是男老師的情況下，從學(xué)校抽取到市里上公開課的也是男老師的概率是（ ）

A.B.C.D.

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【題目】小蔡參加高二1班“美淘街”舉辦的幸運(yùn)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：盒子里裝有六個(gè)大小相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，小蔡需從盒子里隨機(jī)不放回地抽取3次，每次抽取1個(gè)小球，按抽取順序分別作為一個(gè)三位數(shù)的百位、十位與個(gè)位.

（1）一共能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？

（2）若組成的三位數(shù)是大于500的偶數(shù)，則可以獲獎(jiǎng)，求小蔡獲獎(jiǎng)的概率.

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【題目】下圖是某省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診病例變化曲線圖.

若該省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診人數(shù)按日期順序排列構(gòu)成數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，則下列說法中正確的是（ ）

A.數(shù)列是遞增數(shù)列B.數(shù)列是遞增數(shù)列

C.數(shù)列的最大項(xiàng)是D.數(shù)列的最大項(xiàng)是

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【題目】(本小題滿分12分)

已知函數(shù)（其中a是實(shí)數(shù)）．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若設(shè)，且有兩個(gè)極值點(diǎn) ，求取值范圍．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

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