(2013•青島一模)已知函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在區(qū)間[0,
π
3
]
上單調(diào)遞增,在區(qū)間[
π
3
,
3
]
上單調(diào)遞減;如圖,四邊形OACB中,a,b,c為△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊,且滿足
sinB+sinC
sinA
=
3
-cosB-cosC
cosA

(Ⅰ)證明:b+c=2a;
(Ⅱ)若b=c,設(shè)∠AOB=θ,(0<θ<π),OA=2OB=2,求四邊形OACB面積的最大值.
分析:(Ⅰ)由題意知
ω
=
3
,解之可得ω,代入已知條件化簡可得sinC+sinB=2sinA,再由正弦定理可得b+c=2a;
(Ⅱ)由條件和(Ⅰ)的結(jié)論可得△ABC為等邊三角形,可得SOACB=S△OAB+S△ABC=
1
2
OA•OBsinθ+
3
4
AB2
,可化簡為2sin(θ-
π
3
)+
5
3
4
,由θ的范圍可得結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)由題意知:
ω
=
3
,解得ω=
3
2
…(2分)
sinB+sinC
sinA
=
2-cosB-cosC
cosA
,
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA,
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA,
∴sin(A+B)+sin(A+C)=2sinA…(4分)
∴sinC+sinB=2sinA,
∴b+c=2a…(6分)
(Ⅱ)因為b+c=2a,b=c,所以a=b=c,所以△ABC為等邊三角形,
SOACB=S△OAB+S△ABC=
1
2
OA•OBsinθ+
3
4
AB2
…(8分)
=sinθ+
3
4
(OA2+OB2-2OA•OBcosθ)
…(9分)
=sinθ-
3
cosθ+
5
3
4
=2sin(θ-
π
3
)+
5
3
4
,…(10分)
∵θ∈(0,π),∴θ-
π
3
∈(-
π
3
,
3
)

當(dāng)且僅當(dāng)θ-
π
3
=
π
2
,即θ=
6
時取最大值,SOACB的最大值為2+
5
3
4
…(12分)
點(diǎn)評:本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式,涉及余弦定理和三角形的面積,屬中檔題.
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2
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(2013•青島一模)已知x,y滿足約束條件
x2+y2≤4
x-y+2≥0
y≥0
,則目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y的最大值是
4
4

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2
,記動點(diǎn)C的軌跡為曲線W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)曲線W上是否存在這樣的點(diǎn)P:它到直線x=-1的距離恰好等于它到點(diǎn)B的距離?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)設(shè)E曲線W上的一動點(diǎn),M(0,m),(m>0),求E和M兩點(diǎn)之間的最大距離.

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