Question

【題目】函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點，則實數(shù)的取值范圍為（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點等價于函數(shù) 與函數(shù)只有唯一一個交點，由于，，可知與的交點為，分別研究與的單調(diào)，根據(jù)單調(diào)得到與的大致圖像，從圖形上可得要使函數(shù) 與函數(shù)只有唯一一個交點，則， 即可解得實數(shù)的取值范圍。

函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點等價于函數(shù) 與函數(shù)只有唯一一個交點，

，，

函數(shù) 與函數(shù)唯一交點為，

又 ，且， ，

在上恒小于零，即在為單調(diào)遞減函數(shù)，

又 是最小正周期為2，最大值為的正弦函數(shù)，

可得函數(shù) 與函數(shù)的大致圖像如圖：

要使函數(shù) 與函數(shù)只有唯一一個交點，則，

，，

即 ，解得，

又

所以實數(shù)的范圍為。

故答案選A