Question

9．已知△ABC的內(nèi)角為A、B、C，其對(duì)邊分別為a、b、c，已知B為銳角，向量$\overrightarrow m=（2sinB，-\sqrt{3}），\overrightarrow n=（cos2B，2{cos^2}\frac{B}{2}-1）$，且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$．
（Ⅰ）求角B的大小及當(dāng)$b∈[\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$時(shí)，△ABC的外接圓半徑R的取值范圍；
（Ⅱ）如果b=2，求S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示可得2sinB•（2cos²$\frac{B}{2}$-1）+$\sqrt{3}$cos2B=0，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得2sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0，結(jié)合B為銳角可求B，由正弦定理即可得解．
（Ⅱ）由余弦定理可得ac=a²+c²-4，利用基本不等式可得ac≤4，根據(jù)三角形面積公式即可求其最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$，
⇒2sinB•（2cos²$\frac{B}{2}$-1）+$\sqrt{3}$cos2B=0，…（2分）
⇒sin2B+$\sqrt{3}$cos2B=0
⇒2sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0（B為銳角）
⇒2B=$\frac{2π}{3}$
⇒B=$\frac{π}{3}$，…（4分）
∴R=$\frac{2sinB}=\frac{\sqrt{3}}∈$[1，2]…（6分）
（Ⅱ）由cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{2}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，可得：ac=a²+c²-4，…（8分）
∵a²+c²≥2ac，∴ac≤4，…（10分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
即S_△ABC的最大值為$\sqrt{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．