設(shè)函數(shù)f(x)=

（1）試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并給出證明；

（2）若f(x)的反函數(shù)為，證明方程有惟一解。

答案：
解析：

(1)為判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，需先求出f(x)的定義域，在定義域內(nèi)利用單調(diào)性的定義作出判定。

    由解得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1，1)。

    設(shè)－1＜x1＜x2＜1，則

    f(x2)－f(x1)＝1＋

    ＝s

    又(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，

    。

    又(1＋x1)(1＋x2)＞0，(1－x1)(1＋x2)＞0，

    。

    ∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)。

    故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1，1)內(nèi)是減函數(shù)。

(2)這里并不需要先求f－1(x)，再想法解方程f－1(x)＝0。

    ∵f(0)＝∴f－1＝0，即x＝是方程，f－1(x)＝0的一個解。

若方程f－1(x)＝0還有另一解，xo≠，則有，f－1(xo)＝0，又由反函數(shù)的函數(shù)的定義知 f－1(0)＝xo≠，這與已知相矛盾。

    故方程f－1(x)＝0有惟一解。


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(-2x+
π
4
)的圖象為C，有下列四個命題：
①圖象C關(guān)于直線x=-
5π
8
對稱：
②圖象C的一個對稱中心是(
7π
8
，0)；
③函數(shù)f（x）在區(qū)間[
π
8
，
3π
8
]上是增函數(shù)；
④圖象C可由y=-3sin2x的圖象左平移
π
8
得到．其中真命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
2
x2-tx+3lnx，g(x)=
2x+t
x2-3
，已知a，b為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)（0＜a＜b）．
（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，-a）上單調(diào)區(qū)間，并說明理由；
（2）若曲線g（x）在x=1處的切線斜率為-4，且方程g（x）-m=0有兩上不等的負(fù)實(shí)根，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-
1
2
ax2-bx
（1）當(dāng)a=b=
1
2
時，求f（x）的最大值；
（2）當(dāng)a=0，b=-1時，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-
12
ax2-bx．
（I）若x=1是f（x）的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍；
（II）當(dāng)a=0，b=-1時，方程2mf（x）=x2中唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
2x2x+1
，g（x）=（a+2）x+5-3a．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的值域；
（2）若對于任意x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．．

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