Question

20．在銳角三角形ABC中，A=2B，B，C的對(duì)邊分別是b、c．則$\frac{a}{b+c}$的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 由A=2B可得C=180°-3B，由A，B，C∈（0°，90°）可先確定B的范圍，利用正弦定理化簡(jiǎn)表達(dá)式，求出范圍即可．

解答 解：在銳角△ABC中，
∵A=2B，
∴C=180°-3B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{0°＜B＜90°}{0°＜2B＜90°}}\\{0°＜180°-3B＜90°}\end{array}\right.$，
∴∠B∈（30°，45°），cosB∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
由正弦定理可知：$\frac{a}{b+c}$=$\frac{sin2B}{sinB+sin3B}$=$\frac{sin2B}{2sin2BcosB}$=$\frac{1}{2cosB}$∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
故答案為：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，注意銳角三角形中角的范圍的確定，是本題解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，邏輯推理能力，屬于中檔題．