Question

兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在兩城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y，統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為0.065．
（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：
①設(shè)∠CAB=θ（rad），將θ表示成y 的函數(shù)；并寫出函數(shù)的定義域．
②設(shè)AC=x（km），將x表示成y的函數(shù)；并寫出函數(shù)的定義域．
（2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系確定垃圾處理廠的位置，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）①設(shè)∠CAB=θ（rad），AC=20cosθ，BC=20sinθ，結(jié)合當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為0.065，則可得函數(shù)解析式，并可寫出函數(shù)的定義域；
②先利用AC⊥BC，求出，再利用圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，得到y(tǒng)和x之間的函數(shù)關(guān)系，最后利用垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為0.065求出k即可求出結(jié)果．
（2）先求出導(dǎo)函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)為0的根，進(jìn)而求出其單調(diào)區(qū)間，找到函數(shù)的最小值即可．
解答：解：（1）①在直角△ABC中，AC=20cosθ，BC=20sinθ，則y=（0＜θ＜）
當(dāng)x=10時(shí)，y=0.065，所以k=9
所以y表示成x的函數(shù)為y=（0＜θ＜）；
②由題意知AC⊥BC，BC²=400-x²，y=（0＜x＜20）
（2）選②，則y′=，
令y'=0得18x⁴=8（400-x²）²，
所以x²=160，即x=4，
當(dāng)0＜x＜4時(shí)，18x⁴＜8（400-x²）²，即y'＜0，以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)4＜x＜20時(shí)，18x⁴＞8（400-x²）²，即y'＞0，所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)．
所以當(dāng)x=4時(shí)，即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為4時(shí)，函數(shù)y=（0＜x＜20）有最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用問(wèn)題，涉及到函數(shù)解析式的求法以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題目