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4.已知拋物線Q:y2=2px(p>0).
(1)若Q上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離的最小值為1,求實(shí)數(shù)p的值.
(2)若點(diǎn)A在x軸上且在焦點(diǎn)F的右側(cè),以FA為直徑的圓與拋物線在x軸上方交于不同的兩點(diǎn)M,N,求證:FM+FN=FA.

分析 (1)設(shè)Q(x0,y0),(x0≥0),利用定義可得:|QF|=x0+p2p2,即可得出.
(2)設(shè)A(t,0),t>p2.M(x1,y1),N(x2,y2).可得線段FA的中點(diǎn)Gt+p220.可得⊙G的方程,結(jié)合拋物線化為:x2+3p2tx+pt2=0.由于|FM|+|FN|=x1+x2+p,及|FA|=t-p2.即可證明.

解答 (1)解:設(shè)Q(x0,y0),(x0≥0),則|QF|=x0+p2p2=1,解得p=2.
(2)證明:設(shè)A(t,0),t>p2.M(x1,y1),N(x2,y2).
可得線段FA的中點(diǎn)Gt+p220
∴⊙G的方程為:xt+p222+y2=t+p22p22,
化為x2t+p2x+y2+pt2=0,又y2=2px.
∴x2+3p2tx+pt2=0.
∴x1+x2=t-32p.
∴|FM|+|FN|=x1+x2+p=t-12p.
又|FA|=t-p2
∴|FM|+|FN|=|FA|.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的方程、曲線相交問(wèn)題、中點(diǎn)坐標(biāo)公式,考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)(-4,0)的直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的垂直平分線的縱截距的范圍.

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19.已知拋物線C:y2=2px(p>0)上的點(diǎn)(6,y0)到其準(zhǔn)線的距離為152
(I)證明:拋物線C與直線x-y+8=0無(wú)公共點(diǎn);
(Ⅱ)若A(a,0)(a≠0)過(guò)點(diǎn)A的直線l與拋物線交于M,N兩點(diǎn),探究:是否存在定值a,使得1|AM|+1|AN|的值不隨直線l的變化而變化.

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13.雙曲線x216-y29=1的離心率為( �。�
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A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x

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