分析 (1)設(shè)Q(x0,y0),(x0≥0),利用定義可得:|QF|=x0+p2≥p2,即可得出.
(2)設(shè)A(t,0),t>p2.M(x1,y1),N(x2,y2).可得線段FA的中點(diǎn)G(t+p22,0).可得⊙G的方程,結(jié)合拋物線化為:x2+(3p2−t)x+pt2=0.由于|FM|+|FN|=x1+x2+p,及|FA|=t-p2.即可證明.
解答 (1)解:設(shè)Q(x0,y0),(x0≥0),則|QF|=x0+p2≥p2=1,解得p=2.
(2)證明:設(shè)A(t,0),t>p2.M(x1,y1),N(x2,y2).
可得線段FA的中點(diǎn)G(t+p22,0).
∴⊙G的方程為:(x−t+p22)2+y2=(t+p22−p2)2,
化為x2−(t+p2)x+y2+pt2=0,又y2=2px.
∴x2+(3p2−t)x+pt2=0.
∴x1+x2=t-32p.
∴|FM|+|FN|=x1+x2+p=t-12p.
又|FA|=t-p2.
∴|FM|+|FN|=|FA|.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的方程、曲線相交問(wèn)題、中點(diǎn)坐標(biāo)公式,考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | y2=8x | B. | y2=-8x | C. | y2=4x | D. | y2=-4x |
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