Question

【題目】如圖，已知在正四棱錐中， 為側棱的中點， 連接相交于點。

（1）證明： ；

（2）證明： ；

（3）設,若質點從點沿平面與平面的表 面運動到點的最短路徑恰好經過點，求正四棱錐 的體積。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

【解析】試題分析：

（1）由中位線定理可得線線平面，從而有線面平行；

（2）正四棱錐中，底面是正方形，因此有，又PO是正四棱錐的高，從而有PO⊥AC，這樣就有AC與平面PBD垂直，從而得面面垂直；

（3）把與沿PD攤平，由A、M、C共線，因此新的平面圖形是平行四邊形，從而為菱形，M到底面ABCD的距離為原正四棱錐高PO的一半，計算可得體積．

試題解析：

(1) 證明：連接OM，

∵O，M分別為BD，PD的中點，

∴在△PBD中，OM//PB，

又PB面ACM，OM面ACM，

∴ PB//面ACM

(2) 證明：連接PO.

∵在正四棱錐中，PA=PC，O為AC的中點，

∴PO⊥AC，BD⊥AC，

又PO∩BD=O， AC⊥平面PBD，

又 AC平面ACM，∴平面ACM ⊥平面PBD

(3) 如圖，把△PAD與 △PCD沿PD展開成平面四邊形PADC1

由題意可知A，M，C1三點共線，

∵△PAD≌△PCD, M為PD的中點，

∴AM=MC1，即M為AC1中點，

∴平面四邊形PADC1為平行四邊形，

又PA= PC, ∴平面四邊形PADC1為菱形，

∴正四棱錐的側棱長為2

∵PO⊥AC，PO⊥BD，PO ⊥面ABCD，∴PO為正四棱錐的高