Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點(diǎn)，SB與平面ABCD所成的角為45°，且AD=2，SA=1．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面SAP；
（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面SPD的距離；
（Ⅲ）求二面角A-SD-P的大�。�

Answer 1

【答案】分析：方法一：
（1）證明直線與平面垂直，關(guān)鍵要找到兩條相交直線與之都垂直．在題目告知線段長(zhǎng)度的前提下，可以考慮用勾股定理去尋找垂直
（2）由第（1）問(wèn)的結(jié)論易得平面SPD⊥平面SAP，SP為交線，所以只要過(guò)A點(diǎn)作SP的垂線就可以了
（3）二面角的度量關(guān)鍵在于作出它的平面角，第（3）問(wèn)中構(gòu)造二面角的平面角的方法是典型的三垂線法．
方法二：
在題目條件中有直線與平面垂直的情況下，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)定參量求解．比如此題中，我們可以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA、DA、SA為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．這種解法的好處就是：（1）解題過(guò)程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對(duì)位置的有關(guān)定理，因?yàn)檫@些可以用向量方法來(lái)解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因?yàn)橹恍璁?huà)個(gè)草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點(diǎn)的位置即可．
解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)镾A⊥底面ABCD，
所以∠SBA是SB與平面ABCD所成的角．
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1．
易求得，，又因?yàn)锳D=2，
所以AD²=AP²+PD²，所以AP⊥PD．
因?yàn)镾A⊥底面ABCD，PD?平面ABCD，
所以SA⊥PD．由于SA∩AP=A，
所以PD⊥平面SAP．（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，PD⊥平面SAP．又因?yàn)镻D?平面SPD
所以平面SPD⊥平面SAP，過(guò)A作AH⊥SP于H，（如圖）則AH⊥平面SPD，
所以線段AH的長(zhǎng)度為點(diǎn)A到平面SPD的距離．
在Rt△SAP中，易求得，所以．
所以點(diǎn)A到平面SPD的距離為．（9分）

（Ⅲ）解：設(shè)Q為AD中點(diǎn)．連接PQ，由于SA⊥底面ABCD，
且SA?平面SAD，則平面SAD⊥平面ABCD．
因?yàn)镻Q⊥AD，所以PQ⊥平面SAD．
過(guò)Q作QR⊥SD，垂足為R，連接PR，
由三垂線定理可知PR⊥SD，
所以∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角．
容易證明△DRQ∽△DAS，則，
因?yàn)镈Q=1，SA=1，，所以．
在Rt△PRQ中，因?yàn)镻Q=AB=1，所以，
所以二面角A-SD-P的大小為．（14分）

解法二：
因?yàn)镾A⊥底面ABCD，
所以∠SBA是SB與平面ABCD所成的角．
由已知∠SBA=45°，
所以AB=SA=1．
建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．
由已知，P為BC中點(diǎn)．
于是A（0，0，0）、B（1，0，0）、P（1，1，0）、D（0，2，0）、S（0，0，1）．
（Ⅰ）易求得，，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212744522436957/SYS201310232127445224369016_DA/12.png">，，
所以AP⊥PD，PS⊥PD．
因?yàn)锳P∩PS=P，所以PD⊥平面SAP．（4分）
（Ⅱ）設(shè)平面SPD的法向量為n=（x，y，1），
由得解得，
所以．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212744522436957/SYS201310232127445224369016_DA/18.png">，
所以點(diǎn)A到平面SPD的距離．（9分）
（Ⅲ）因?yàn)锳B⊥平面SAD，所以是平面SAD的法向量，易得．
由（Ⅱ）知平面SPD的法向量，
所以．
所以二面角A-SD-P的大小為．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力