Question

已知函數(shù).
（1）證明：；
（2）當(dāng)時，，求的取值范圍.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

解析試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的運算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計算能力.第一問，因為，所求證，所以只需分母即可，設(shè)函數(shù)，對求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，證明最小值大于0即可，所求證的不等式的右邊，需證明函數(shù)的最大值為1即可，對求導(dǎo)，判斷單調(diào)性求最大值；第二問，結(jié)合第一問的結(jié)論，討論的正負(fù)，當(dāng)時，，而與矛盾，當(dāng)時，當(dāng)時，與矛盾，當(dāng)時，分母去分母，等價于，設(shè)出新函數(shù)，需要討論的情況，判斷在每種情況下，是否大于0，綜合上述所有情況，寫出符合題意的的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）設(shè)，則．
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增．
所以．
又，故．           2分

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減．
所以．
綜上，有．           5分
（Ⅱ）（1）若，則時，，不等式不成立．  6分
（2）若，則當(dāng)時，，不等式不成立．  7分
（3）若，則等價于．  ①
設(shè)，則．
若，則當(dāng)，，單調(diào)遞增，． 9分
若，則當(dāng)，，單調(diào)遞減，．
于是，若，不等式①成立當(dāng)且僅當(dāng)．      11分
綜上，的取值范圍是．
考點：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；3.恒成立問題.