Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n和通項a_n滿足2S_n+a_n=1，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，b₂=

1

2

，

2

bn+1

=

1

bn

+

1

bn+2

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{c_n}滿足c_n=

an

bn

，求證：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜

3

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由2S_n+a_n=1，得S_n=

1

2

（1-a_n），由此推導(dǎo)出{a_n}是首項為

1

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列，從而求出a_n．由b₁=1，b₂=

1

2

，

2

bn+1

=

1

bn

+

1

bn+2

（n∈N^*），得

1

b1

=1，

1

b2

=2，d=

1

b2

-

1

b1

=1，由此推導(dǎo)出{

1

bn

}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，從而求出b_n；
（Ⅱ）c_n=

an

bn

=n•（

1

3

）ⁿ，設(shè)T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，由錯位相減求和，即可證明結(jié)論．

解答： 解．（Ⅰ）由2S_n+a_n=1，得S_n=

1

2

（1-a_n），
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

（1-a_n）-

1

2

（1-a_n-1），
∵a_n-1≠0，∴

an

an-1

=

1

3

而S₁=

1

2

（1-a₁），∴a₁=

1

3

∴{a_n}是首項為

1

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列，
∴a_n=（

1

3

）ⁿ．
由b₁=1，b₂=

1

2

，

2

bn+1

=

1

bn

+

1

bn+2

（n∈N^*），
得

1

b1

=1，

1

b2

=2，d=

1

b2

-

1

b1

=1，
∴{

1

bn

}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

bn

=1+（n-1）×1=n，
∴b_n=

1

n

．
（2）c_n=

an

bn

=n•（

1

3

）ⁿ，設(shè)T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，則
T_n=1•

1

3

+2•（

1

3

）²+…+n•（

1

3

）ⁿ，

1

3

T_n=1•（

1

3

）²+2•（

1

3

）³+…+n•（

1

3

）ⁿ⁺¹，
由錯位相減，化簡得：T_n=

3

4

-

2n+3

4

×

1

3n

＜

3

4

．

點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．