Question

3．以直角坐標系xOy的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標，且兩坐標系取相同的長度單位．已知點N的極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），圓C₁的極坐標方程為ρ=1，若M為曲線C₂上的動點，且M到定點N的距離等于圓C₁的半徑．
（1）求曲線C₂的直角坐標方程；
（2）若過點P（2，0）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），且直線l與曲線C₂交于A、B兩點，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標與直角坐標的互化，直接求解點N的直角坐標為（1，1），求出曲線C₁的直角坐標方程x²+y²=1，然后求解曲線C₂的方程．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入方程（x-1）²+（y-1）²=1，設A、B兩點對應的參數(shù)分別為t₁、t₂，利用韋達定理以及參數(shù)的幾何意義求解即可．

解答 解：（1）點N的直角坐標為（1，1），曲線C₁：ρ=1，即$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=1$，即x²+y²=1，
曲線C₂表示以N（1，1）為圓心，1為半徑的圓，方程為（x-1）²+（y-1）²=1．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入方程（x-1）²+（y-1）²=1，得${（1-\frac{t}{2}）^2}+{（\frac{{\sqrt{3}t}}{2}-1）^2}=1$，
即${t^2}-（1+\sqrt{3}）t+1=0$，設A、B兩點對應的參數(shù)分別為t₁、t₂，
則$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=1+\sqrt{3}\\{t_1}•{t_2}=1\end{array}\right.$，易知t₁＞0，t₂＞0，
∴$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}=\frac{|PA|+|PB|}{|PA|•|PB|}=\frac{{|{t_1}|+|{t_2}|}}{{|{t_1}|•|{t_2}|}}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{{{t_1}•{t_2}}}=1+\sqrt{3}$．

點評 本題考查參數(shù)方程以及極坐標方程與普通方程的互化，曲線的參數(shù)方程的幾何意義，考查轉化思想以及計算能力．