Question

設函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在非零實數(shù)T使得對任意的x∈M（M⊆D），有x+T∈D，且f（x+T）≥f（x），則稱函數(shù)f（x）為M上的T高調(diào)函數(shù)．
（1）現(xiàn)給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=log

1

2

x為（0，+∞）上的T高調(diào)函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=sinx為R上的2π高調(diào)函數(shù)；
③如果定義域為[-1，+∞）的函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上的m高調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞）．其中正確命題的序號是

 

；
（2）如果定義域為R的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當x≥0 時，f（x）=|x²-a²|-a²，且f（x）為R上的4高調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,簡易邏輯

分析：（1）①利用函數(shù)的單調(diào)性，直接判斷正誤即可．
②由正弦函數(shù)知函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調(diào)函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調(diào)函數(shù)，只有[-1，1]上至少需要加2．
（2）定義域為R的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=|x-a²|-a²，畫出函數(shù)圖象，可得4≥3a²-（-a²）⇒-1≤a≤1．

解答： （1）解：對于①，∵f（x）=log

1

2

^x為減函數(shù)，函數(shù)f（x）=log

1

2

x不是（0，+∞）上的高調(diào)函數(shù)，∴①不正確；
對于②，∵sin（x+2π）≥sinx
∴函數(shù)f（x）=sinx為R上的2π高調(diào)函數(shù)，故②正確；
對于③，在[-1，+∞）上的任意x（設x=x+m）有y≥-1恒成立，則x+m≥-1恒成立，即m≥-1-x恒成立．
對于x∈[-1，+∞），當x=-1時-1-x最大為0，
∴m≥0．
又∵f（x+m）≥f（x），即（x+m）²≥x²在x∈[-1，+∞）上恒成立，化簡得m²+2mx≥0，
又∵m≥0，故m+2x≥0即m≥-2x恒成立，當x=-1時-2x最大為2，
∴m≥2，即實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞），故③正確；
（2）解：f（x）=|x-a²|-a²的圖象如圖，∴4≥3a²-（-a²）⇒-1≤a≤1．
實數(shù)a的取值范圍是[-1，1]．
故答案為：（1）②③；（2）[-1，1]．

點評：考查學生的閱讀能力，很應用知識分析解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合的能力，用圖解決問題的能力，屬中檔題．