考點:三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:(1)首先利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù),進一步求出函數(shù)的周期.
(2)利用正弦型函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域,進一步利用存在性問題求出函數(shù)中參數(shù)的取值范圍.
(3)利用函數(shù)具備嚴格的單調(diào)性來進行證明.
解答:
解:(1)函數(shù)f(x)=
sin2x+
(sin
2x-cos
2x)+
=
sin2x-cos2x+=sin(2x-
)+
,
所以函數(shù)的最小正周期為;T=π;
(2)由于
t∈[,],
所以:
2t-∈[0,],
設(shè):F(x)=[f(t)]
2-2
f(t)=(f(t)-
)
2-2∈[-2,-1],
存在t∈[
,
]滿足[f(t)]
2-2
f(t)-m=0,
所以:m的取值范圍為:m∈[-2,-1]
(3)對任意的x
1∈[-
,
],存在唯一的x
2∈[-
,
],使f(x
1)•f(x
2)=1成立,
當(dāng)
x1∈[-,]時,使f(x
1)f(x
2)=1成立.
當(dāng)
x1∈[-,]時,
2x1-∈[-,],
所以:
f(x1)=sin(2x1-)+∈[-1,+1],
f(x2)==sin(2x2-)+
∈[-1,+1].
則:
sin(2x2-)=-∈[-1,1],
設(shè):
-=a(a∈[-1,1]),
由
sin(2x2-)=a.
解得:
2x2-=2kπ+arcsina或
2x2-=2kπ+π-arcsina,
所以x
2的解集為:{x
2|
x2=kπ+arcsina+或
x2=kπ-arcsina+}(k∈Z).
由于
-≤arcsina+≤,
所以:
≤-arcsina+≤,
由于函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)有嚴格的單調(diào)性.
所以:存在唯一的x
2∈[-
,
],使f(x
1)•f(x
2)=1成立.
點評:本題考查的知識要點:三角函數(shù)的恒等變換,正弦型函數(shù)的周期,存在性問題的應(yīng)用,利用函數(shù)的單調(diào)性正面函數(shù)的唯一解.