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1.若實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a2-lna=b,d=c-2,則(a-c)2+(b-d)2的最小值為(  )
A.1B.2C.2D.4

分析 可知點(diǎn)P(a,b)是曲線f(x)=x2-lnx(x>0)上的點(diǎn),Q(c,d)是直線y=x-2上的點(diǎn),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,過曲線y=x2-lnx上的點(diǎn)P(a,b)的切線且與線y=x-2平行時(shí),|PQ|有最小值,運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式,計(jì)算即可得到所求.

解答 解:設(shè)點(diǎn)P(a,b)是曲線f(x)=x2-lnx(x>0)上的點(diǎn),Q(c,d)是直線y=x-2上的點(diǎn),
∴|PQ|2=(a-c)2+(b-d)2,
要使(a-c)2+(b-d)2最小,當(dāng)且僅當(dāng)過曲線y=x2-lnx上的點(diǎn)P(a,b)的切線且與y=x-2平行時(shí).
f′(x)=2x21x(x>0),
2x21x=1,可得x=1(負(fù)值舍去),
∴點(diǎn)P(1,1)到直線y=x-2的距離為d=|112|2=2,
∵|PQ|≥d=2,則(a-c)2+(b-d)2的最小值為2.
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)最值的求法,運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式是關(guān)鍵,也是難點(diǎn),考查理解題意與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)到直線間的距離,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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優(yōu)惠劵A:若商品標(biāo)價(jià)超過50元,則付款時(shí)減免標(biāo)價(jià)的10%;
優(yōu)惠劵B:若商品標(biāo)價(jià)超過100元,則付款時(shí)減免20元;
優(yōu)惠劵C:若商品標(biāo)價(jià)超過100元,則付款時(shí)減免超過100元部分的18%.
某顧客想購買一件標(biāo)價(jià)為150元的商品,若想減免錢款最多,則應(yīng)該使用B優(yōu)惠劵(填A(yù),B,C);若顧客想使用優(yōu)惠券C,并希望比優(yōu)惠券A和B減免的錢款都多,則他購買的商品的標(biāo)價(jià)應(yīng)高于225元.

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