已知函數(shù)F（x）=f（x）+g（x），其中f（x）、g（x）分別為正、反比例函數(shù)，且F(1)=3，F(xiàn)(2)=
9
2
．
（Ⅰ）求函數(shù)F（x）的解析式；　　
（Ⅱ）判斷函數(shù)F（x）在[
2
2
，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明．
分析：（Ⅰ）設(shè)f(x)=k1x，g(x)=
k2
x
，由F（1）=3，F(xiàn)（2）=
9
2
可得方程組，解出后可求得F（x）；
（Ⅱ）設(shè)
2
2
≤x1＜x2，利用作差可判斷F（x2）與F（x1）的大小，根據(jù)單調(diào)性的定義即可作出判斷；
解答：解：（Ⅰ）設(shè)f(x)=k1x，g(x)=
k2
x
，
由
F(1)=k1+k2=3
F(3)=2k1+
k2
2
=
9
2
，解得
k1=2
k2=1
，
∴F（x）=2x+
1
x
；
（Ⅱ）設(shè)
2
2
≤x1＜x2，
則F（x2）-F（x1）=2x2+
1
x2
-（2x1+
1
x1
）
=
(x2-x1)(2x1x2-1)
x1x2
，
∵
2
2
≤x1＜x2，∴x2-x1＞0，x1x2＞0，2x1x2＞1，
∴F（x2）-F（x1）＞0，即F（x2）＞F（x1），
∴F（x）在[
2
2
，+∞）上單調(diào)遞增．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求法、函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬基礎(chǔ)題，定義是判斷單調(diào)性的基本方法，若已知函數(shù)類型求解析式，常用待定系數(shù)法解決．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

15、已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且f（x）=x無實(shí)根，則下列命題中：
（1）方程f[f（x）]=x一定無實(shí)根；
（2）若a＞0，則不等式f[f（x）]＞x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立；
（3）若a＜0，則必存在實(shí)數(shù)x0，使得f[f（x0）]＞x0；
（4）若a+b+c=0，則不等式f[f（x）]＜x對(duì)一切x都成立．
其中正確命題的序號(hào)有
（1）（2）（4）
（寫出所有真命題的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=3x，且f-1（18）=a+2，g（x）=3ax-4x的定義域?yàn)閇0，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的單調(diào)區(qū)間，確定其單調(diào)性并用定義證明；
（3）求g（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y∈R總有f（x）+f（y）=f（x+y）且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，f（1）=-
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（1）求證：f（x）+f（-x）=0
（2）求證：函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）求f（X）在[-3，3]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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