Question

【題目】已知a為常數，函數f（x）=xlnx﹣ ax2 ．
（1）當a=0時，求函數f（x）的最小值；
（2）若f（x）有兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2）
①求實數a的取值范圍；
②求證：x1x2＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=xlnx的導數為f′（x）=1+lnx，

當x＞ 時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當0＜x＜ 時，f′（x）＜0，f（x）遞減．

即有x= 時，取得最小值，且為﹣

（2）解：①f（x）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），

即為f′（x）=1+lnx﹣ax=0的兩根為x1，x2．

即有a= ，設g（x）= ，g′（x）= ，

當x＞1時，h′（x）＜0，h（x）遞減，當0＜x＜1時，h′（x）＞0，h（x）遞增．

即有x=1處取得極大值，也為最大值1，

且0＜x＜ 時，g（x）遞增，g（x）＜0，當 ＜x＜1或x＞1時，g（x）∈（0，1），

即有0＜a＜1．故a的取值范圍是（0，1）；

②證明：由題意可得1+lnx1=ax1，1+lnx2=ax2，

即有2+ln（x1x2）=a（x1+x2），又lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），

即有2+ln（x1x2）=（lnx1﹣lnx2）

要證x1x2＞1，即證ln（x1x2）＞0，即有（lnx1﹣lnx2） ＞2，

即ln ＞2 在x2＞x1成立，（*）

由t= ＞1，設h（t）=lnt﹣2 ，

h′（t）= ﹣ = ＞0，h（t）在t＞1遞增，即有h（t）＞h（1）=0，

即為lnt＞2 ，即有（*））成立．

故x1x2＞1

【解析】（1）求出f（x）的導數，求出單調區(qū)間，可得極小值，也為最小值；（2）①由題意可得f′（x）=1+lnx﹣ax=0的兩根為x1 ， x2 ． 即有a= ，設g（x）= 1=ax1 ， 1+lnx2=ax2 ， 兩式相加和相減，可得a，要證x1x2＞1，即證ln（x1x2）＞0，即有（lnx1﹣lnx2） ＞2，即ln ＞2 在x2＞x1成立，（*）由t= ＞1，設h（t）=lnt﹣2 ，求出導數，判斷單調性，即可得到證明．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．