Question

設無窮數列的首項，前項和為（），且點在直線上（為與無關的正實數）．

（1）求證：數列（）為等比數列；

（2）記數列的公比為，數列滿足，設，求數列的前項和；

（3）（理）若（1）中無窮等比數列（）的各項和存在，記，求函數的值域.

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見解析；(2)；(3)．

【解析】

試題分析：(1)把已知條件變形為，要化為數列項的關系，一般方法是用代得，兩式相減，得，從而得前后項比為常數，只是還要注意看看是不是有，如有則可證得為等比數列；(2)由定義可知數列是等差數列，(是數列公差)，從而數列也是等差數列，其前和易得，這說明我們在求數列和時，最好能確定這個數列是什么數列；(3)首先無窮等比數列的和存在說明公比滿足，從而得出，無窮等比數列的和公式得，這是一次分式函數，其值域采用分離分式法，即，易得．

試題解析：（1）由已知，有，

當時，；         2分

 當時，有，

兩式相減，得，即，

綜上，，故數列是公比為的等比數列；   4分

（2）由（1）知，，則

于是數列是公差的等差數列，即，         7分

 

則

=        10分

（3）（理）由解得：。          12分

          14分

，當時，，函數的值域為。       16分

考點：(1)數列的前項和與的關系，等比數列的定義；(2)等差數列的前項和；(3)無窮等比數列的和及一次分式函數的值域．