在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為x-y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為 

(Ⅰ)已知在極坐標(biāo)(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系;

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離的最值;

(Ⅲ)請(qǐng)問(wèn)是否存在直線 ,∥l且與曲線C的交點(diǎn)A、B滿足;

若存在請(qǐng)求出滿足題意的所有直線方程,若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

【答案】

(Ⅰ)P(0,4),點(diǎn)P在直線上(Ⅱ)最小值為,最大值為(Ⅲ)

【解析】

試題分析:(I)把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)化為直角坐標(biāo),得P(0,4)2分

因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)(0,4)滿足直線的方程,所以點(diǎn)P在直線上.4分

(II)因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上,故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,5分

從而點(diǎn)Q到直線的距離為

,    6分

由此得,當(dāng)時(shí),d取得最小值,且最小值為

當(dāng)時(shí),d取得最大值,且最大值為        8分

(Ⅲ)設(shè)平行線m方程:               9分

設(shè)O到直線m的距離為d,則   10分

 

經(jīng)驗(yàn)證均滿足題意 ,所求方程為      12分

考點(diǎn):極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)及平面內(nèi)直線與橢圓相交相離的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng):極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,第二問(wèn)求距離的最值首先找到距離的表達(dá)式,借助于三角函數(shù)參數(shù)的有界性求得最值,第三問(wèn)是直線與橢圓相交問(wèn)題,此題求三角形面積用到了弦長(zhǎng),因此聯(lián)立方程求出弦長(zhǎng)得到面積

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2.F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn),且|MF2|=
5
3

(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)平面上的點(diǎn)N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
,直線l∥MN,且與C1交于A,B兩點(diǎn),若
OA
OB
=0
,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P(2cosx+1,2cos2x+2)和點(diǎn)Q(cosx,-1),其中x∈[0,π].若向量
OP
OQ
垂直,求x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,射線OA在第一象限,且與x軸的正半軸成定角60°,動(dòng)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),△POQ的面積為2
3

(1)求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)R1,R2是曲線C上的動(dòng)點(diǎn),R1,R2到y(tǒng)軸的距離之和為1,設(shè)u為R1,R2到x軸的距離之積.問(wèn):是否存在最大的常數(shù)m,使u≥m恒成立?若存在,求出這個(gè)m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0(α為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t
為參數(shù))
(I)求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程,并說(shuō)明它表示什么曲線;
(II)求直線l被軌跡C截得的最大弦長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左右兩個(gè)焦分別為F1,F(xiàn)2.過(guò)右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn),且|MN|=2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,-b),是否存在直線l:y=x+m,使點(diǎn)B關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓C上,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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