Question

（本小題滿分12分）橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為．點P（1，）、A、B在橢圓E上，且 （m∈R）；

（Ⅰ）求橢圓E的方程及直線AB的斜率；

（Ⅱ）求證：當△PAB的面積取得最大值時，原點O是△PAB的重心。

Answer 1

解：（Ⅰ）由=及解得a²=4，b²=3，………………1分

橢圓方程為； ……………………………………………………………2分

設A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）， 由得

（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，），即  ………………………3分

又，，兩式相減得

;………………………………5分

（Ⅱ）設AB的方程為 y=，代入橢圓方程得：x²-tx+t²-3=0， ……………6分

△=3(4-t²)，|AB|=，

點P到直線AB的距離為d=，

S_△PAB      == （-2<t<2）.  …………………8分

 令f(t) =3(2-t)³(2+t)，則f’(t)=-12(2-t)²(t+1)，由f’(t)=0得t=-1或2（舍），

    當-2<t<-1時，f’(t)>0，當-1<t<2時f’(t)<0，所以當t=-1時，f(t)有最大值81，

即△PAB的面積的最大值是；                 ………………………10分

根據韋達定理得 x₁+x₂=t=-1，而x₁+x₂=2+m，所以2+m=-1，得m=-3，

于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，

因此△PAB的重心坐標為(0，0)．                …………………………………12分