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14.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=bcosC-33csinB.
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn),BD=1,求△ABC面積的最大值.

分析 (Ⅰ)由正弦定理,三角形內(nèi)角和定理,三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知可得cosBsinC=-33sinCsinB,
又sinC≠0,從而可求tanB=-3,結(jié)合B為三角形內(nèi)角,即可得解B的值.
(Ⅱ)由D為邊AC的中點(diǎn),可得2BD=BA+BC,兩邊平方,設(shè)|BA|=c,|BC|=a,可得4=a2+c2-ac,結(jié)合基本不等式的應(yīng)用可得ac的最大值,利用三角形面積公式即可得解.

解答 (本題滿(mǎn)分為12分)
解:(Ⅰ)∵a=bcosC-33csinB,
∴由正弦定理可得:sinA=sinBcosC-33sinCsinB,
∴sin(B+C)=sinBcosC-33sinCsinB,
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC-33sinCsinB,
∴cosBsinC=-33sinCsinB,
又∵C為三角形內(nèi)角,可得sinC≠0,
∴tanB=-3
又∵B為三角形內(nèi)角,可得B=2π3…(6分)
(Ⅱ)如圖,∵點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)
∴2BD=BA+BC,
∴兩邊平方可得:4|BD|2=|BA|2+2|BA|•|BC|•cos∠ABC+|BC|2,…(9分)
又∵由(Ⅰ)知B=2π3,
設(shè)|BA|=c,|BC|=a,
即:4=a2+c2-ac≥ac,(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立),
∴S△ABC=12acsin∠ABC=34ac≤3
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí),△ABC面積的最大值為3.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理,三角形內(nèi)角和定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,考查了平面向量及其應(yīng)用,考查了基本不等式,三角形面積公式等知識(shí)在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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