分析 (Ⅰ)由正弦定理,三角形內(nèi)角和定理,三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知可得cosBsinC=-√33sinCsinB,
又sinC≠0,從而可求tanB=-√3,結(jié)合B為三角形內(nèi)角,即可得解B的值.
(Ⅱ)由D為邊AC的中點(diǎn),可得2→BD=→BA+→BC,兩邊平方,設(shè)|→BA|=c,|→BC|=a,可得4=a2+c2-ac,結(jié)合基本不等式的應(yīng)用可得ac的最大值,利用三角形面積公式即可得解.
解答 (本題滿(mǎn)分為12分)
解:(Ⅰ)∵a=bcosC-√33csinB,
∴由正弦定理可得:sinA=sinBcosC-√33sinCsinB,
∴sin(B+C)=sinBcosC-√33sinCsinB,
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC-√33sinCsinB,
∴cosBsinC=-√33sinCsinB,
又∵C為三角形內(nèi)角,可得sinC≠0,
∴tanB=-√3,
又∵B為三角形內(nèi)角,可得B=2π3…(6分)
(Ⅱ)如圖,∵點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)
∴2→BD=→BA+→BC,
∴兩邊平方可得:4|→BD|2=|→BA|2+2|→BA|•|→BC|•cos∠ABC+|→BC|2,…(9分)
又∵由(Ⅰ)知B=2π3,
設(shè)|→BA|=c,|→BC|=a,
即:4=a2+c2-ac≥ac,(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立),
∴S△ABC=12acsin∠ABC=√34ac≤√3.
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí),△ABC面積的最大值為√3.…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理,三角形內(nèi)角和定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,考查了平面向量及其應(yīng)用,考查了基本不等式,三角形面積公式等知識(shí)在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | (1,2) | B. | (1,√3) | C. | (√2,2√2) | D. | (2,2√2) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 3 | B. | 12 | C. | 17 | D. | 35 |
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A. | 球 | B. | 圓錐 | C. | 正方體 | D. | 圓柱 |
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