Question

4．經(jīng)過拋物線y²=2px（p＞0）外一點A（-2，-4）的直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{\;}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R）與拋物線分別交于M₁，M₂兩點，且|AM₁|、|M₁M₂|，|AM₂|成等比數(shù)列．
（1）把直線l的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）求p的值及線段M₁M₂的長度．

Answer 1

分析 （1）將參數(shù)方程兩式相減即可消參數(shù)得到l的普通方程；
（2）把直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程，利用根與系數(shù)的關系及參數(shù)的幾何意義得出|AM₁|、|M₁M₂|，|AM₂|，根據(jù)等比數(shù)列列出方程解出p．

解答 解：（1）將參數(shù)方程兩式相減得x-y=2，即x-y-2=0．
∴直線l的普通方程為x-y-2=0．
（2）把：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{\;}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入y²=2px得：t²-2$\sqrt{2}$（4+p）t+8（4+p）=0，
設M₁，M₂對于的參數(shù)分別為t₁，t₂．則t₁+t₂=2$\sqrt{2}$（4+p），t₁t₂=8（4+p）．
∵|AM₁|、|M₁M₂|，|AM₂|成等比數(shù)列，
∴（t₁-t₂）²=|t₁||t₂|=t₁t₂．
∴（t₁+t₂）²=5t₁t₂．即8（4+p）²=40（4+p）．解得p=1或p=-4（舍）．
∴t₁t₂=40．
∴|M₁M₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義及應用，屬于在中檔題．