Question

右圖是一個(gè)直三棱柱(以A₁B₁C₁為底面)被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC已知A₁B₁＝B₁C₁＝l，∠A_lB_lC₁＝90°，AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3．

(1)設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：OC∥平面A₁B₁C₁；

(2)求二面角B－AC－A₁的大小；

(3)求此幾何體的體積．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(1)證明：作交于，連． 則． 因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0678/0020/edaf552163aae05ab1f93f50bf5e2965/C/Image113.gif" width=16 HEIGHT=18>是的中點(diǎn)， 所以． 則是平行四邊形，因此有． 平面且平面， 則面． 　　(2)如圖，過作截面面，分別交，于，． 作于，連． 因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0678/0020/edaf552163aae05ab1f93f50bf5e2965/C/Image134.gif" width=45 height=24>面，所以，則平面． 又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0678/0020/edaf552163aae05ab1f93f50bf5e2965/C/Image139.gif" width=61 height=24>，，． 所以，根據(jù)三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角． 因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0678/0020/edaf552163aae05ab1f93f50bf5e2965/C/Image145.gif" width=68 HEIGHT=45>，所以，故， 即：所求二面角的大小為． 　　(3)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0678/0020/edaf552163aae05ab1f93f50bf5e2965/C/Image149.gif" width=68 HEIGHT=45>，所以 ． ． 所求幾何體體積為 ． 　　解法二： 　　(1)如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0678/0020/edaf552163aae05ab1f93f50bf5e2965/C/Image159.gif" width=16 HEIGHT=18>是的中點(diǎn)，所以， ． 易知，是平面的一個(gè)法向量． 因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0678/0020/edaf552163aae05ab1f93f50bf5e2965/C/Image165.gif" width=65 height=22>，平面，所以平面． 　　(2)，， 設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則 則，得： 取，． 顯然，為平面的一個(gè)法向量． 則，結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角． 所以二面角的大小是． 　　(3)同解法一．