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7.已知f(x)=x(lnx-mx)(m∈R).
(I)當(dāng)m=1時(shí),求f(x)過點(diǎn)(1,-1)的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)F(x)=1nx+12x2-2mx+1兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2,求證:f(x2)<-1<f(x1

分析 (Ⅰ)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算f′(1),求出切線方程即可;
(Ⅱ)求出F(x)的導(dǎo)函數(shù),把原函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為h(x)=x2-2ax+1在(0,+∞)上有兩個(gè)相異零點(diǎn)x1,x2.由此結(jié)合二次函數(shù)根的分布求得a的范圍.進(jìn)一步得到m=x2+12x,代入f(x),利用導(dǎo)數(shù)求得f(x2)<-1<f(x1).

解答 (Ⅰ)解:m=1時(shí),f(x)=x(lnx-x),f′(x)=lnx-2x+1,
故f′(1)=-1,
故切線方程是:y+1=-(x-1),
即x+y=0;
(Ⅱ)證明:∵F(x)=lnx-2mx+1+12x2,
∴F′(x)=1x-2mx+x=x22mx+1x,
函數(shù)F(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,
即h(x)=x2-2mx+1在(0,+∞)上有兩個(gè)相異零點(diǎn)x1,x2
∵x1x2=1>0,∴{△=4a240x1+x2=2m0,則m>1.
當(dāng)0<x<x1 或x>x2時(shí),F(xiàn)′(x)>0,當(dāng)x1<x<x2時(shí),F(xiàn)′(x)<0,
∴F(x)在(0,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減;
∵h(yuǎn)(1)=2-2m<0,∴0<x1<1<m<x2,
令x2-2mx+1=0,得m=x2+12x
∴f(x)=x(lnx-mx)=xlnx-12x3-12x,則f′(x)=lnx-32x2+12,
設(shè)s(x)=lnx-32x2+12,s′(x)=1x-3x=13x2x
①當(dāng)x>1時(shí),s′(x)<0,s(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
從而s(x)在(m,+∞)上單調(diào)遞減,
∴s(x)<s(m)<s(1)=-1<0,
∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴f(x)<f(1)=-1<0,
∵1<m<x2,∴f(x2)<-1;
②當(dāng)0<x<1時(shí),由s′(x)>0,得0<x<33,
由s′(x)<0,得33<x<1,∴s(x)在(0,33)上單調(diào)遞增,在(33,1)上單調(diào)遞減,
∴s(x)≤s(33)=ln33<0,∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,則f(x)>f(1)=-1,
∵x1∈(0,1),∴f(x1)>-1.
綜上可知:f(x2)<-1<f(x1).

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式問題,對(duì)于(Ⅱ)的證明,著重考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,運(yùn)用了二次函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷,題目設(shè)置難度大,綜合型強(qiáng),是壓軸題.

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