【題目】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是，離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知矩形的四條邊都與橢圓相切，設(shè)直線AB方程為，求矩形面積的最小值與最大值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)S有最大值10；當(dāng)k=0時(shí)，S有最小值8.

【解析】

試題（Ⅰ）利用待定系數(shù)法即可，由題意，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是，

所以，又，橢圓C的方程是；（Ⅱ）注意斜率的討論，當(dāng)時(shí)，

橢圓的外切矩形面積為8. 當(dāng)時(shí)， AB所在直線方程為，所以，直線BC和AD的斜率均為.聯(lián)立直線AB與橢圓方程可得，令得到，直線AB與直線DC之間的距離為，同理可求BC與AD距離為，所以矩形ABCD的面積為，再利用基本不等式即可解決.

試題解析：（Ⅰ）由題意，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是，

所以

又，離心率為，即，

解得，

故橢圓C的方程是

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

橢圓的外切矩形面積為8.

當(dāng)時(shí)，

橢圓的外切矩形的邊AB所在直線方程為，

所以，直線BC和AD的斜率均為.

由，消去y得

，

化簡(jiǎn)得：

所以，直線AB方程為

直線DC方程為

直線AB與直線DC之間的距離為

同理，可求BC與AD距離為

則矩形ABCD的面積為

由均值定理

僅當(dāng)，即時(shí)S有最大值10.

因此，當(dāng)時(shí)S有最大值10；

當(dāng)K=0時(shí)，S有最小值8.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）若取出的紅球的個(gè)數(shù)不少于白球的個(gè)數(shù)，則有多少種不同的取法；

（2）取出一個(gè)紅球記分，取出一個(gè)白球記分，若取出個(gè)球的總分不少于分，則有多少種不同的取法；

（3）若將取出的個(gè)球放入一箱子中，記“從箱子中任意取出個(gè)球，然后放回箱子中”為一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到個(gè)紅球并且恰有一次取到個(gè)白球的概率.

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【題目】一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4.

（1）從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；

（2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求的概率

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【題目】△ABC中，A(0,1)，AB邊上的高CD所在直線的方程為x＋2y－4＝0，AC邊上的中線BE所在直線的方程為2x＋y－3＝0.

(1)求直線AB的方程；

(2)求直線BC的方程；

(3)求△BDE的面積．

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【題目】為了選拔學(xué)生參加全市中學(xué)生物理競(jìng)賽，學(xué)校先從高三年級(jí)選取60名同學(xué)進(jìn)行競(jìng)賽預(yù)選賽，將參加預(yù)選賽的學(xué)生成績(jī)（單位：分）按范圍，，，分組，得到的頻率分布直方圖如圖：

（1）計(jì)算這次預(yù)選賽的平均成績(jī)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）若對(duì)得分在前的學(xué)生進(jìn)行校內(nèi)獎(jiǎng)勵(lì)，估計(jì)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線；

（3）若這60名學(xué)生中男女生比例為，成績(jī)不低于60分評(píng)估為“成績(jī)良好”，否則評(píng)估為“成績(jī)一般”，試完成下面列聯(lián)表，是否有的把握認(rèn)為“成績(jī)良好”與“性別”有關(guān)？

成績(jī)良好

成績(jī)一般

合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

附：，

臨界值表：

0.10

0.05

0.010

2.706

3.841

6.635

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(1)當(dāng)秒時(shí)點(diǎn)離水面的高度_________；

(2)將點(diǎn)距離水面的高度(單位: )表示為時(shí)間(單位: )的函數(shù)，則此函數(shù)表達(dá)式為_______________ .

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A. B. C. D.

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