Question

17．已知數列{a_n}是遞增的等比數列，且a₁+a₄=9，a₂a₃=8．設S_n為數列{a_n}的前n項和，b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，則數列{b_n}的前n項和T_n為1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

Answer 1

分析 由已知求出等比數列的公比，得到等比數列的通項公式和前n項和公式，代入b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，整理后利用裂項相消法求得數列{b_n}的前n項和T_n ．

解答 解：設等比數列{a_n}的公比為q，由a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
得a₁+a₄=9，a₁a₄=8．即a₁，a₄是方程x²-9x+8=0的兩根．
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{{a}_{4}=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8}\\{{a}_{4}=1}\end{array}\right.$．
∵數列{a_n}是遞增的等比數列，∴a₁=1，a₄=8．
則${q}^{3}=\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}=8$，∴q=2．
則${a}_{n+1}={2}^{n}$，${S}_{n}=\frac{1-{2}^{n}}{1-2}={2}^{n}-1，{S}_{n+1}={2}^{n+1}-1$．
∴b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
∴T_n =$\frac{1}{{2}^{1}-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}+\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}+…+\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
故答案為：1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了裂項相消法求數列的和，是中檔題．