Question

17．已知數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，且a₁+a₄=9，a₂a₃=8．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n為1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

Answer 1

分析 由已知求出等比數(shù)列的公比，得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，代入b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，整理后利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n ．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
得a₁+a₄=9，a₁a₄=8．即a₁，a₄是方程x²-9x+8=0的兩根．
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{{a}_{4}=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8}\\{{a}_{4}=1}\end{array}\right.$．
∵數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，∴a₁=1，a₄=8．
則${q}^{3}=\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}=8$，∴q=2．
則${a}_{n+1}={2}^{n}$，${S}_{n}=\frac{1-{2}^{n}}{1-2}={2}^{n}-1，{S}_{n+1}={2}^{n+1}-1$．
∴b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
∴T_n =$\frac{1}{{2}^{1}-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}+\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}+…+\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
故答案為：1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．