Question

某種商品進價每個80元，零售價每個100元，為了促銷擬來買一個這種商品，贈送一個小禮品的辦法．時間表明：禮品價值為1元時，銷售量增加10％，且在一定范圍內(nèi)，禮品價值為n＋1元時，比禮品價值為n元(n∈N^*)時的銷售量增加10％．

(1)寫出禮品價值為n元時，利潤y_n(元)與n(元)的函數(shù)關(guān)系；

(2)請你設(shè)計禮品的價值，以使商店獲得最大利潤．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)未贈禮品時的銷售量為m件． 　　則當禮品價值為n元時，銷售量為m(1＋10％)n； 　　利潤ym＝(100－80－n)·m·(1＋10％)n＝(20－n)·m·1.1n(0＜n＜20，n∈N*)． 　　(2)令yn+1－yn≥0，即(19－n)·m·1.1n+1－(20－n)·m·1.1n≥0，解得n≤9． 　　所以y1＜y2＜y3＜…＜y9＝y(tǒng)10， 　　令yn+1－yn+2≥0，即(19－n)·m·1.1n+1－(18－n)·m·1.1n+2≥0，解得n≥8． 　　所以y9＝y(tǒng)10＞y11＞y12＞y13＞…＞y19， 　　所以禮品價值為9元或10元時，商店獲得最大利潤．

提示：

分析：第(1)問易得，第(2)問禮品的價值為多少時，使商店獲取最大利潤，只需借助于指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，使得n取某個值時，其前面的取值與后面的取值都比它小即可．即yn+1－yn≥0且yn+1－yn+2≥0． 　　評注：本題根據(jù)題意可以建立兩個關(guān)于x的指數(shù)函數(shù)模型，然后利用函數(shù)的最大項比它前面所有的值都大且比它后面所有的值都大，通過解不等式法比較函數(shù)增長的變化趨勢．