Question

12．已知點A（3，4），
（1）經(jīng)過點A，且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為4x-3y=0或x+y-7=0；
（2）經(jīng)過點A，且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形的直線方程為x-y+1=0或x+y-7=0；
（3）經(jīng)過點A，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線方程為x+2y-11=0或4x-3y=0．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況考慮，第一：當所求直線與兩坐標軸的截距不為0時，設出該直線的方程為x+y=a，第二：當所求直線與兩坐標軸的截距為0時，設該直線的方程為y=kx；
（2）由題意可設直線方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，且|a|=|b|，然后把（3，4）代入直線方程可求a，b，進而可求直線方程即可；
（3）當直線過原點時，直線方程為y=$\frac{4}{3}$x，直線不經(jīng)過原點時，設直線方程為$\frac{x}{2a}$+$\frac{y}{a}$=1，把點（3，4）代入即可得出．

解答 解：（1）①當所求的直線與兩坐標軸的截距不為0時，設該直線的方程為x+y=a，
把（3，4）代入所設的方程得：a=7，則所求直線的方程為x+y=7即x+y-7=0；
②當所求的直線與兩坐標軸的截距為0時，設該直線的方程為y=kx，
把（3，4）代入所求的方程得：k=$\frac{4}{3}$，則所求直線的方程為y=$\frac{4}{3}$x即4x-3y=0，
綜上，所求直線的方程為：4x-3y=0或x+y-7=0；
故答案為：4x-3y=0或x+y-7=0；
（2）∵所求直線過點A（3，4），且與兩條坐標軸圍成一個等腰直角三角形，
∴可設直線的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，且|a|=|b|，
把（3，4）代入直線方程可得$\frac{3}{a}$+$\frac{4}$=1且|a|=|b|，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=7}\\{b=7}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴所求直線的方程為x-y+1=0或x+y-7=0，
故答案為：x-y+1=0或x+y-7=0；
（3）當直線過原點時，直線方程為y=$\frac{4}{3}$x，即4x-3y=0，
直線不經(jīng)過原點時，設直線方程為$\frac{x}{2a}$+$\frac{y}{a}$=1，
把點（3，4）代入可得3+8=2a，解得a=$\frac{11}{2}$，
∴直線的方程為x+2y-11=0．
綜上可得：直線的方程為x+2y-11=0或4x-3y=0．
故答案為：x+2y-11=0或4x-3y=0．

點評 本題主要考查了直線方程的求解，解題的關鍵是截距式的靈活應用．