Question

20．F₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，則a-c≤|PF₁|≤a+c，a-c≤|PF₂|≤a+c，為什么？

Answer 1

分析 點P取左右兩個端點時，焦半徑長度分別最短，最長，從而焦半徑長度屬于[a-c，a+c]，由此得到a-c≤|PF₁|≤a+c，a-c≤|PF₂|≤a+c．

解答 解：∵F₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，
∴|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex，
∴當x=-a時，|PF₁|_min=a+e（-a）=a+$\frac{c}{a}$×（-a）=a-c，
當x=c時，|PF₁|_max=a+ea=a+$\frac{c}{a}$×a=a+c，
∴a-c≤|PF₁|≤a+c，
同理，a-c≤|PF₂|≤a+c，
也就是說當點P取左右兩個端點時，焦半徑長度分別最短，最長，
∴焦半徑長度屬于[a-c，a+c]，
∴a-c≤|PF₁|≤a+c，a-c≤|PF₂|≤a+c．

點評 本題考查橢圓的焦半徑長度的取值范圍的確定，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．