Question

設函數f（x）=x|x-a|，若對?x₁，x₂∈[3，+∞），x₁≠x₂，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0恒成立，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，-3]
• B、[-3，0）
• C、（-∞，3]
• D、（0，3]

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：分類討論,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由條件可得 函數f（x）=x|x-a|在[3，+∞）上是增函數，對a討論，當a≤3時，當a＞3時，求得單調區(qū)間，即可得到a≤3．

解答： 解：∵對于任意x₁，x₂∈[3，+∞），x₁≠x₂，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0恒成立，
∴函數f（x）=x|x-a|在[3，+∞）上是增函數．
由函數f（x）=x|x-a|=

x2-ax，x≥a ax-x2，x＜a

，
當a≤3時，f（x）=x²-ax（x≥3）在（

a

2

，+∞）遞增，則在[3，+∞）遞增；
當a＞3時，f（x）的增區(qū)間為（a，+∞），減區(qū)間為（-∞，a），即有f（x）在[3，+∞）先減后增．
綜上可得，a≤3，
故實數a的取值范圍是（-∞，3]．
故選C．

點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，函數的單調性的應用，掌握分類討論的思想方法和兩區(qū)間的包含關系是解題的關鍵，屬于中檔題．