Question

如圖，PA垂直于矩形ABCD所在平面，PA=AD，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）求證：平面PCE⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）取PC中點(diǎn)G，利用三角形的中位線證明四邊形AEGF為平行四邊形，從而證明AF∥平面PCE．
（2）先證明CD⊥AF，AF⊥PD，從而證明AF⊥平面PCD，再由AF∥EG 得，EG⊥平面PCD，從而證得平面PCE⊥平面PCD．

解答：證明：（1）取PC中點(diǎn)G，連接FG、EG，∵F、G分別為PD、PC的中點(diǎn)，∴FG∥CD 且FG=

1

2

CD．
∵AE∥CD且AE=

1

2

CD，∴FG∥AE且FG=AE，∴四邊形AEGF為平行四邊形，
∴AF∥EG，又∵AF?平面PCE，∴AF∥平面PCE．
（2）由PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，CD⊥AF．
又∵PA⊥AD，PA=AD，故△PAD為等腰直角三角形，再由F為PD的中點(diǎn)，可得AF⊥PD，
這樣，AF垂直于平面PCD內(nèi)的兩條相交直線CD、PD，∴AF⊥平面PCD．
∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD，又∵EG?平面PCE，∴平面PCE⊥平面PCD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和平面平行的判定，平面和平面垂直的判定，證明AF⊥平面PCD，是解題的難點(diǎn)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．