Question

18．⊙F₁：（x+1）²+y²=9．⊙F₂：（x-1）²+y²=1．動(dòng)圓M與⊙F₁內(nèi)切，與⊙F₂外切．
（1）求M點(diǎn)的軌跡C的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，（O為原點(diǎn)）滿足|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|．對(duì)滿足條件的動(dòng)直線l中取兩條直線l₁，l₂，其交點(diǎn)是N，當(dāng)|$\overrightarrow{ON}$|=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$時(shí)，求l₁，l₂的夾角．

Answer 1

分析 （1）由題意，動(dòng)圓M與⊙F₁內(nèi)切，與⊙F₂外切．利用圓心距和半徑的關(guān)系得到M到⊙F₁和動(dòng)圓M到⊙F₂距離之和為定值，符合橢圓的定義，從而得到M點(diǎn)的軌跡C的方程；
（2）由題意：y=kx+m與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，（O為原點(diǎn)）滿足|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|．說(shuō)明OA⊥0B，斜率乘積=-1，找到k與m的關(guān)系．再根據(jù)交點(diǎn)是N，|$\overrightarrow{ON}$|=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$，設(shè)出直線方程，滿足題意關(guān)系，解出k，m，即可求出l₁，l₂的夾角．

解答 解：（1）圓M：（x+1）²+y²=1，圓N：（x-1）²+y²=9，
設(shè)動(dòng)圓P半徑為R．
∵M(jìn)在N內(nèi)，∴動(dòng)圓只能在N內(nèi)與N內(nèi)切，不能是N在動(dòng)圓內(nèi)，即：R＜3
動(dòng)圓P與圓M外切，則PM=1+R，
動(dòng)圓P與圓N內(nèi)切，則PN=3-R，
∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距離之和為定值．
∴P是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓．
∵M(jìn)N的中點(diǎn)為原點(diǎn)，故橢圓中心在原點(diǎn)，
∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≠-2）．
（2）y=kx+m與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$
得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$
x₁₊x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$
y₁y₂=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$
∵|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|．說(shuō)明OA⊥OB，斜率乘積=-1，即：$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=-1$，
∴7m²=12k²+12，
令動(dòng)直線l中取一條直線l₁的斜率k=0，則m=$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{7}}$，則l₁直線方程為：y=$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{7}}$，
交點(diǎn)是N，坐標(biāo)設(shè)（x_N，$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{7}}$）
∵|$\overrightarrow{ON}$|=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$，
解得：x_N=$\frac{6}{\sqrt{7}}$
∴N坐標(biāo)（$\frac{6}{\sqrt{7}}$，$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{7}}$）
動(dòng)直線l中另一條直線l₂的斜率k₂，則直線方程為：y=k₂x+m₂
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{7}}=\frac{6}{\sqrt{7}}•{k}_{2}+{m}_{2}}\\{7{m}^{2}=12{{k}_{2}}^{2}+12}\end{array}\right.$
解得：${k}_{2}=\sqrt{3}$
∵直線l₁的斜率k=0，與x軸平行．
∴l(xiāng)₁，l₂的夾角等于直線l₂的傾斜角
∴tanθ=$\sqrt{3}$⇒$θ=\frac{π}{3}$
故∴l(xiāng)₁，l₂的夾角等于$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程定義，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)中設(shè)而不求轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了計(jì)算能力，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的假設(shè)推理和運(yùn)用，屬于難題．