Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD．底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=

1

2

AD=1．E為PD的中點．
（1）求證：CE∥平面PAB；
（2）求異面直線AB與PC所成的角的正切值．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點F．連接EF，CF．由題設條件推導出EF∥PA，CF∥AB，得到面EFC∥面PAB，由此能夠證明CE∥面PAB．
（2）由CF∥AB，知∠PCF為異面直線AB與PC所成的角，利用題設條件推導出CF⊥面PAD，由此能夠求出異面直線AB與PC所成的角的正切值．

解答：解：（1）取AD的中點F．連接EF，CF．
∵PA⊥面ABCD．底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=

1

2

AD，E為PD的中點．
∴EF∥PA，CF∥AB，
∴面EFC∥面PAB，
所以CE∥面PAB．…（6分）
（2）∵CF∥AB，
∴∠PCF為異面直線AB與PC所成的角，
∵∠BAD=90°，CF∥AB，∴CF⊥AD，
∵PA⊥面ABCD，CF?平面ABCD，∴CF⊥PA，
又∵PA∩AD=A，∴CF⊥面PAD．
∵PA=AB=BC=

1

2

AD=1，
∴PF=

2

，CF=1，
∴在直角△PCF中，
tan∠PCF=

PF

CF

=

2

．
故異面直線AB與PC所成的角的正切值為

2

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線所成角的正切值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．