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15.在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,cosA=55,asinA+bsinB-csinC=105asinB.
(1)求B的值;
(2)設(shè)b=10,求△ABC的面積S.

分析 (1)由已知及正弦定理可得a2+b2c2=105ab,利用余弦定理可求cosC,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC,sinA的值,進而利用三角形內(nèi)角和定理,誘導公式,兩角和的余弦函數(shù)公式可求cosB,解得B的范圍即可得解B的值.
(2)利用正弦定理可求c,進而利用三角形面積公式即可計算得解.

解答 解:(1)由已知可得a2+b2c2=105ab,
cosC=a2+b2c22ab=1010
∵A,C∈(0,π),
sinC=31010,sinA=255,
∴cosB=-cos(A+C)=-(55×1010-31010×255)=22,
∵B∈(0,π),
∴B=\frac{π}{4}
(2)∵\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=10\sqrt{2},
∴c=10\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{10}}{10}=6\sqrt{5},
S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×10×6\sqrt{5}×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=60

點評 本題主要考查了正弦定理,余弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,三角形內(nèi)角和定理,誘導公式,兩角和的余弦函數(shù)公式,三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,熟練掌握相關(guān)公式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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A.\frac{17\sqrt{6}}{2} 海里/時B.34\sqrt{6}海里/時C.\frac{17\sqrt{2}}{2}海里/時D.34\sqrt{2}海里/時

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A.3B.4C.5D.6

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