Question

8．如圖，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC，∠CBA=30°，D、E分別是BC、AP的中點(diǎn)，則異面直線AC與DE所成角的大小為$arccos\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 取AB中點(diǎn)F，連接DF，EF，則AC∥DF，∠EDF就是異面直線AC與DE所成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線AC與ED所成的角的大小．

解答 解：取AB中點(diǎn)F，連接DF，EF，則AC∥DF，
∴∠EDF就是異面直線AC與DE所成的角（或所成角的補(bǔ)角）．
設(shè)AP=BC=2，
∵PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC，∠CBA=30°，D、E分別是BC、AP的中點(diǎn)，
∴由已知，AC=EA=AD=1，AB=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{7}$，EF=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．
在Rt△EFD中，DF=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$，DE=$\sqrt{2}$，
∴cos∠EDF=$\frac{D{E}^{2}+D{F}^{2}-E{F}^{2}}{2×DE×DF}$=$\frac{2+\frac{1}{4}-\frac{7}{4}}{2×\sqrt{2}×\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴異面直線AC與ED所成的角為arccos$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：arccos$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．