Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），g（x）分別滿足：f（1+x）+f（1-x）=0，g（-x）=g（x），則下列函數(shù)中，一定為奇函數(shù)的是

1. A.
   y=f（x）•g（x）
2. B.
   y=f（x+1）•g（x）
3. C.
   y=f（x-1）•g（x）
4. D.
   y=f（x）•g（x-1）

Answer 1

B
分析：首先根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義與性質(zhì)，易得A、C、D各項中的函數(shù)均為非奇奇偶函數(shù)，再用奇偶性的定義證出B項中的函數(shù)是奇函數(shù)，即可得到本題的答案．
解答：A項當中，因為f（x）是非奇非偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，故y=f（x）•g（x）不是奇函數(shù)
C項當中，f（x-1）是非奇非偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，故y=f（x-1）•g（x）不是奇函數(shù)
D項當中，f（x）是非奇非偶函數(shù)，g（x-1）是非奇非偶函數(shù)，故y=f（x）•g（x-1）不是奇函數(shù)
接下來證明B項中的函數(shù)是奇函數(shù)
∵f（1+x）+f（1-x）=0，
∴f（1-x）=-f（1+x），可得函數(shù)y=f（x+1）是奇函數(shù)
記F（x）=f（x+1）•g（x），得F（-x）=f（-x+1）•g（-x）
∵f（1-x）=-f（1+x），g（-x）=g（x），
∴F（-x）=-f（1+x）•g（x）=-F（x），得F（x）是奇函數(shù)
因此y=f（x+1）•g（x）是奇函數(shù)．
故選：B
點評：本題給出兩個抽象函數(shù)，要我們在由它們生成的函數(shù)中找出奇函數(shù)，著重考查了抽象函數(shù)的應用和函數(shù)奇偶性的定義與性質(zhì)等知識，屬于基礎題．